《趣味數學》 - 兩位數相乘的速算

兩位數的相乘是我們在日常最容易遇到的算題，所以掌握兩位數相乘的速算也是最為重要，而兩位數相乘的速算，都是從以下的數式中發展出來的：

假設在兩位數相乘中，兩位數分別為(10A+B)和(10a+b)：
　　(10A+B) x (10a+b) = (10A x 10a)+ 10 x (Ba+Ab) + (Bb)
　　　　　　　　　　　= 100 x (Aa) + 10 x (Ba+Ab) + (Bb)

你可以看到，把十位相乘放在百位，將十位和個位交差相乘的結果相加放在十位，再把個位相乘放在個位，三組數相加的結果就是答案。

因為個位數相乘不可能大於或等於一百，很明顯，速算的關鍵在第二項數：十位和個位交差相乘的結果。

當a=A，b=10-B（e.g. 33 x 37）：
　　10 x (Ba + Ab) = 10 x (BA + A(10-B))
　　　　　　　　　= 10 x (BA + 10 x A - AB)
　　　　　　　　　= 100 x A
因為a=A，所以，答案的百位等於A x (A+1)，沒有十位，個位等於bB，相等於之前談到的「特別兩位數相乘」。(33 x 37 = 100 x ( 3 x 4 ) + (3 x 7) = 1221)

當Ba+Ab=100（e.g. 87 x 49）：
　　10 x (Ba + Ab) = 10 x 100 = 1000
所以，答案的百位是aA+10，個位是bB。(87 x 49 = 100 x ( 32+10) + (7 x 9) = 4263)

當A=1，a=1（e.g. 17 x 19）：
　　10 x (Ba + Ab) = 10 x (B+b)
因為百位的Aa=1，所以我們可以移動到十位變成10，答案就是十位是10+B+b+bB的十位，個位是bB的個位。(17 x 19 = 10 x ( 10+7+9 ) + (7 x 9) = 10 x (26+6) + 3 = 323)

當b=1，B=1（e.g. 71 x 91 或 41 x 51）：
　　10 x (Ba + Ab) = 10 x (a+A)
簡化的是個位一定是1，而十位不用交差相乘，而只是把十位數相加。
所以，如果A+a>=10，答案的百位是aA+1，十位是(A+a-10)，個位是1。(71 x 91 = 100 x ( 63+1) + (7+9-10) = 6461)
而如果A+a<10，答案的百位是aA，十位是(A+a)，個位是1。(41 x 51 = 100 x ( 20 ) + (4+5) = 2091)

數學的趣味，在於你只要掌握一個原理，就可以有百般的變化。

孫子所謂「凡戰者，以正合，以奇勝。故善出奇者，無窮如天地，不竭如江河。終而復始，日月是也；死而復生，四時是也。聲不過五，五聲之變，不可勝聽也。色不過五，五色之變，不可勝觀也。味不過五，五味之變，不可勝嘗也。戰勢不過奇正，奇正之變，不可勝窮也。奇正相生，如循環之無端，孰能窮之？」說的就是變化應用的重要。