《趣味數學》 - 兩位數相乘的速算

兩位數的相乘是我們在日常最容易遇到的算題，所以掌握兩位數相乘的速算也是最為重要，而兩位數相乘的速算，都是從以下的數式中發展出來的：

假設在兩位數相乘中，兩位數分別為(10A+B)和(10a+b)：
　　(10A+B) x (10a+b) = (10A x 10a)+ 10 x (Ba+Ab) + (Bb)
　　　　　　　　　　　= 100 x (Aa) + 10 x (Ba+Ab) + (Bb)

你可以看到，把十位相乘放在百位，將十位和個位交差相乘的結果相加放在十位，再把個位相乘放在個位，三組數相加的結果就是答案。

因為個位數相乘不可能大於或等於一百，很明顯，速算的關鍵在第二項數：十位和個位交差相乘的結果。

當a=A，b=10-B（e.g. 33 x 37）：
　　10 x (Ba + Ab) = 10 x (BA + A(10-B))
　　　　　　　　　= 10 x (BA + 10 x A - AB)
　　　　　　　　　= 100 x A
因為a=A，所以，答案的百位等於A x (A+1)，沒有十位，個位等於bB，相等於之前談到的「特別兩位數相乘」。(33 x 37 = 100 x ( 3 x 4 ) + (3 x 7) = 1221)

當Ba+Ab=100（e.g. 87 x 49）：
　　10 x (Ba + Ab) = 10 x 100 = 1000
所以，答案的百位是aA+10，個位是bB。(87 x 49 = 100 x ( 32+10) + (7 x 9) = 4263)

當A=1，a=1（e.g. 17 x 19）：
　　10 x (Ba + Ab) = 10 x (B+b)
因為百位的Aa=1，所以我們可以移動到十位變成10，答案就是十位是10+B+b+bB的十位，個位是bB的個位。(17 x 19 = 10 x ( 10+7+9 ) + (7 x 9) = 10 x (26+6) + 3 = 323)

當b=1，B=1（e.g. 71 x 91 或 41 x 51）：
　　10 x (Ba + Ab) = 10 x (a+A)
簡化的是個位一定是1，而十位不用交差相乘，而只是把十位數相加。
所以，如果A+a>=10，答案的百位是aA+1，十位是(A+a-10)，個位是1。(71 x 91 = 100 x ( 63+1) + (7+9-10) = 6461)
而如果A+a<10，答案的百位是aA，十位是(A+a)，個位是1。(41 x 51 = 100 x ( 20 ) + (4+5) = 2091)

數學的趣味，在於你只要掌握一個原理，就可以有百般的變化。

孫子所謂「凡戰者，以正合，以奇勝。故善出奇者，無窮如天地，不竭如江河。終而復始，日月是也；死而復生，四時是也。聲不過五，五聲之變，不可勝聽也。色不過五，五色之變，不可勝觀也。味不過五，五味之變，不可勝嘗也。戰勢不過奇正，奇正之變，不可勝窮也。奇正相生，如循環之無端，孰能窮之？」說的就是變化應用的重要。

《趣味數學》 - 特別兩位數相乘

這是一個小學時學的秘技，一直以來都覺得很正，算是很實用，但很奇怪，原來知道（或者記得）的人並不多。

14 x 16=?
23 x 27=?
32 x 38=?
41 x 49=?
55 x 55=?

這都是我可以隨口回答的問題，靠的就是這個秘技。很簡單，兩位數需要十位相同，個位相加等於十。符合這兩個條件的兩位數相乘，都可以用以下的方法來計算。

假設以下每個英文字母是一個數字：
　　AB x AC = DEFG
　　DE=A x (A+1)；FG=B x C

所以，
14 x 16 = 224；
23 x 27 = 621；
32 x 38 = 1216；
41 x 49 = 2009；
55 x 55 = 3025。

是不是很簡單？我在小學時也覺得很神奇，為什么呢？這在我中學時才找到答案。

假設在兩位數相乘中，A是10位數，B和C分別是兩個數的個位數，
　　(10A+B) x (10A+C) = (10A+B) x (10A+(10-B))
　　　　　　　　　　　= (10A+B) x (10(A+1)-B)
　　　　　　　　　　　= 100A(A+1)+10B-B x B
　　　　　　　　　　　= 100A(A+1)+B(10-B)
　　　　　　　　　　　= 100A(A+1)+BC
很明顯，因為個位相乘不可能大於一百，百位以上就等於A(A+1)，而百位以下就等於B x C。所以，兩個兩位數只要符合十位相同和個位相加等於十的兩個條件，就能用這個秘缺來計算了。

很多人對數學會有恐懼，因而影响了他們對數學的學習情緒。就像學游泳，怕水就永遠學不會。只要習慣和它好好相處，忘記了恐懼，甚至找到一點點的樂趣，數學其實很有趣。